（执笔： 钱铭  唐加俊）

 

一．课题提出的理论依据及其客观背景

认知心理学中的发生认识论观点与数学哲学尤其是数学方法论中的数学抽象度分析法相互结合的交互作用在数学教学中的体现与实现是本课题所体现的教育教学核心理念．

皮亚杰指出：全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的．……当数学实体以一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类“实体”进行的运演，反过来 ，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成“更强”的结构，或者在由“更强的”结构来予以结构化．他认为，（a）存在着把结构按其“强度”排列的阶梯式体系；（b）需要对结构作建构主义的处理，因为结构的系统不能正确地比喻为建立在其台基上的静止的金字塔，而只能比作其高度在不断地增加的螺旋体．

按照徐利治教授的观点，这种数学结构可以通过数学的抽象度分析法来实现，而且可以从两个不同的方向，即强抽象和弱抽象来达到．

具体地说，弱抽象也可称为“概念扩张式抽象”，即是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念，并使前者成为后者的特例．例如，如果以锐角三角函数的概念作为原型，借助于弱抽象我们就可获得更为一般的任意角的三角函数的概念，而这事实上也就是一个概念扩张的过程．

强抽象也叫“概念强化式抽象”，它是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，从而获得新概念的．所获得的新概念是原型的特例．强抽象更为突出地体现了数学抽象的特殊性：由于数学抽象在一定程度上就意味着与真实的分离，因此在数学中我们就可以通过概念的“自由”组合形成新的概念，而后者则就是一个强抽象的过程．

应当指出的是，尽管弱抽象与强抽象在形式上是互相对立的：前者是从特殊到一般，后者则是由一般到特殊．但是，就实际的数学活动而言，在这两者之间又存在有相互补充、相互依赖的辩证关系．例如，由于强抽象与人们所熟悉的“种加属差”的定义方法是较为接近的，因此，数学教材中对于新的概念的引进往往就采取“强抽象链”的形式，即是由一般概念引出概念，并进而获得更为特殊的概念．但是，在很多情况下，所说的定义又正是对若干特例进行比较概括的结果，从而就以弱抽象作为必要的前提．另外，强抽象在一定程度上就可以看作概念的（适当）组合，从而，这事实上也就以概念的分解（分离），亦即是弱抽象作为必要的前提和补充．

徐利治教授指出 ：假如对于各门数学课程都作成抽象度分析表册，那末对数学教学显然是很有参考价值的．特别对提高教学水平与质量会起到积极作用．

将教材中的概念、公理、定义、定理、公式、法则等称为知识点．显然，每章节乃至整个课本中的某些知识点之间，必然存在某种关系，这种关系体现为数学上的抽象关系．即知识点之间可能存在强抽象、弱抽象和广义抽象关系．

设A、B是两个知识点，
     如果B是A的特例，则称为A到B的抽象是强抽象；
     如果A是B的特例，则称A到B的抽象是弱抽象；
     如果定义B时用到了A，则称A到B的抽象是广义抽象．

把每个知识点在平面上分别用一个点表示，如果知识点之间存在上述的三种关系之一，就使用一条有向线段将两点连结，这样便得到一个有向图，这个有向图给我们提供了三种信息．

当考虑知识网中连结知识点的线段具有方向性时，知识网就是一个有向图，该有向图具体反映了各知识点之间的数学抽象关系．

如果知识点A₁、A₂、…A_n之间存在关系A₁→A₂→…→A_n，则称A₁与A_n之间有一条路，该路中有向线段的数目称为路长，同时定义路长为A_n 相对于A₁的抽象度，记为d(A_n |A₁)，即d(A_n |A₁)=n-1．当连结A₁与A_n 的路多于一条时，取所有路中的最长者为A_n 对于A₁的抽象度．
     从知识点A为起点的有向线段的条数叫做A的出度，记为d⁺(A)；
     以知识点A为终点的有向线段的条数叫做A的入度，记为d^-(A)．

于是通过对知识网这个有向图的分析可以得到一个三元指标{d(A_i|A_j)，d⁺(A_i)，d^-(A_i)}，而此三元指标依次刻画了各知识点在知识网中的深刻性程度、基本性程度和重要性程度．

因此，通过对知识网的抽象度分析，可以为各个知识点在教材中所占位置的权重提供数据，使之在具体的教学中做到有的放矢．

以函数单元为例，可以作出下面的分析表:

 

二．初期构思和前期研究

在组织该实验之前，我们曾产生了一些困惑和疑问，如该实验对教师理论上的要求较高，我们能胜任吗？能发挥“育师”作用吗？我们的实验能发挥数学学科独特的育人功能吗？

回答是肯定的！因为我们课题组的全体成员都对数学教学有着一分痴迷．由于本课题有助于教师钻研理论、钻研教材、钻研数学，对促进教师专业发展推动很大，客观上使我们的数学教育教学能与时俱进地发展．

而且本课题充分考虑到数学学科的特点，既关注到数学学科和数学思维的特点，又体现了数学思想方法、数学的精神．只要实施方法得当，完全可以发挥数学学科独特的育人功能．

 

1．对MM教育方式的综合认识

作为“MM实验”的新子课题，必须对MM方式有更为深刻的了解和一些具体体验，因此在深入地学习有关资料的同时，又做了以下几件事：

制订了《发生认识论与数学的抽象度分析法》实施方案，成立了老中青教师相结合的课题组，有原来“九五MM课题组”的核心成员史立新老师、中年教师唐加俊、华志远、陈曦、钱铭、鲍为民，青年教师陶睿、屠莉雯等．

通过一段时间的实践，教师们在体验MM教育方式的众多优势的同时，也感受到它的一些不足，如：

①它的门槛较高，许多“变量”需要创造性地应用，因而“入门很难”；

②它的原则、功能、目标、变量相互交叉，变量划分较细，这虽然为研究带来方便，但不便于应用，因为在教学实践中，每个教学举措几乎都是它们的综合，因而变量宜粗不宜细；

③当时我国数学教育研究中，关于情感教育、合作教学等，逐渐凸显，在MM方式的2、2、3、8中，这两个因素已有体现，但不够突出；

④MM教育方式没有把数学教育促进身心健康的功能列入教育目标．

为此，我们以“MM教育方式”为基础，但在如下几个方面又有所创新：

强调了情感教育、合作教学、人文精神的因素以及数学对学生身心健康的作用；

对促进数学教育目标实现的关键因素进行提炼概括，粗化了操作变量．

由于这些举措，使得它的理论与操作系统更加简练、清晰、容易理解，从而降低了进入MM教育方式的门槛．

2． 综合吸收新的成果

本课题在设计自己的原则、目标、变量时，除了参照MM教育方式、着重考虑数学自身、数学哲学和数学方法论之外，还充分考虑了诸如情感教育的研究成果（中华民族优良民风和文化传统，布卢姆关于情感领域教学目标的研究，巴班斯基关于最优化教学意义的研究，波利亚关于最佳学习动机的论述，苏霍姆林斯基关于让学生感到学习乐趣的主张，乃至全国著名特级教师孙维刚的实践经验和成功案例，特别是数学本身的独特魅力和数学家们的奋斗经历），合作教学的研究成果，建构主义的数学观、教学观和学习观，数学共同体学说，弗赖登塔尔数学化与再创造原理，“问题解决”的理论与实践，“全面发展”的教育理论，以及双基教学、二主方针、启发式教学，布鲁纳发现法教学，复杂适应系统和混沌学说等等，对本课题都起到了启示的作用．

令人担心的是，这种多元的理论基础，是否有必要，会不会使本课题成为各种理论学说的大杂烩，从而丧失作为一种优秀、独立的数学教学方式的“资格”？对此，可以作如下几方面的分析．

刘绍学教授说：“数学教育中，应以数学为主，主到什么程度？八二开？七三开？在培养数学教师方面要考虑”．波利亚著名的对数学教师的“十诫”中的首诫就是：要懂得任教的内容．本课题对这些深以为然，并坚定地遵循数学教学方式必须具有数学特色、数学风格的原则，把自己的根深深地扎在数学之中，同那种“或拘泥于数学的一招一式，或置数学的特点于不顾”的万金油式的“数学教学法”，严格区分开来，要求数学教师具有深厚扎实的数学基础理论，通过学习和研究实行三项（观念、知识、技能）更新，积累丰富的数学研究发现的经历，以利于抵制各种错误理念，吃透和整合教学内容，并在这些原则的指导下，研究和分析各种教育学说和数学教育理论、思想，“货比三家”，消化吸收，为我所用，不是像海绵遇水兼收并蓄，而是将各种理论、学说编织成一个严整有序的系统．

“数学教育”系统是一个上通数学科学下达课堂教学的复杂适应系统，由多学科、多领域综合而成，因此，任何数学教育方式、教学方法，其理论基础，必定是多元的，正是这种多元的理论基础，使本课题教学更加坚实可靠，它的每条原则，每个变量和它的教学目标，都建筑在多重的理论基础之上．比如：合作教学（学习），基础是数学共同体学说，社会建构观，现代合作教学理论等等．“以人为本”的原则，既是人本主义思想的体现，又涉及数学的文化教育功能、数学教学的素质教育目标和对人的“全面发展”的要求等等．“数学化与再创造”的原则，则体现了数学反璞归真教育、生物发生论（单个人的智力发展简捷的重复人类智力发展）、建构主义学习观（不学现成的结论和过程，师生共同建构）和把数学的学术形态转化为教育形态的要求等等．

 

三、研究内容

在初期构想与前期实验的基础上，逐渐形成比较完整本课题的理论－－操作系统．

1．经过第一阶段研究，我们逐步得到了更加确切的表述，这就是：

在数学教学过程中，教师遵循以人为本、数学化与再创造、必要性与有效性三项基本原则，注重渗透数学思想，进行情感教育，实施合作教学，从而促进学生全面发展的教学方式．

另外，作为本课题的特色，在教师教与学生学的过程中，师生共同遵循以下数学抽象的方法论原则：

思维方式

方法论原则

构造性

思维活动

模式建构形式化原则(基本准则)

在纯粹数学的研究中，应当借助于明确的定义去构造出相应的量化模式，并以此为直接对象从事纯形式的研究；也正因为此，作为数学抽象物的量化模式在概念意义上就应具有一定层次的普遍性和概括性，在表达形式上则应具有无歧义的逻辑精确性和简洁性．

同向思维

弱抽象

特性分离一般性原则(弱抽象原则)

人们可以将一类或某种结构内容较为丰富的对象作为弱抽象的原型，并通过特性分离和规范化的定义方法去构造出更为一般的模式．

类比抽象

类比联想拓广性原则

在获得了各个特殊的结论或模式后，应当努力通过类比联想去拓广已有的成果，类比联想的关键在于使对象的类比关系明朗化．

对偶化

结构关联对偶化原则

在数学中应善于把一对数学模式按对偶化法则联系起来，并从这样的角度去角度去进行新的研究．

逆向思维

强抽象

关系定性特征化原则(强抽象)

人们可以通过引入新特征强化原型而获得更为特殊的模式，这种特征又往往是通过在原型中引入某种新的关系(映射、运算等)得以确定的．

精确化

逆向分析精确化原则

在数学的研究中，应当注意通过命题及其逆命题的综合分析更好地去把握有关概念的本质特性，并最终建立有关概念的严格定义．

完备化

新元素添加完备化原则

如果某种(新)运算在原先的结构系统中不是畅行无阻的，这时就可以考虑引入适当的新元素以实现所说意义上的完备性．

悖向思维

悖向思维和谐性原则

在探索性研究中有时需要肯定悖向思维的积极作用，也即应当考察背离常识的种种新的关系结构模式存在的可能性；另外，我们又应以对高一层次的和谐性的追求作为悖向思维的补充性指导原则．

审美直觉

审美直觉选择性原则

在种种数学模式的探索、设计与建构过程中，应当力求按照简单性、统一性、对称性和奇异性等审美标准去选择目标和方法．

 

2． 教学过程．本课题教学对数学教学，不是枝枝节节的改革，而是全程改革，整个教学过程包括如下环节：

    班集体整合：组建学生的本课题学习小组，进行学法培训，促进“小老师”涌现，树立良好班风、学风，增进学生集体荣誉感．

教学设计与上课：设计分宏观、微观、情境三个层次，上课依情况运用讲授、讲练结合、课堂讨论、小组研究等方式，进行混沌控制．

辅导与作业处理．教师亲自同时通过本课题学习小组充分了解学生疑难，进行以个别辅导为主的辅导，师生结合安排作业和处理作业．

学习评价：激励性、形成性评价，多种形式．

课外活动指导：作为课堂学习的必要补充，学生自主进行，可在日常课余，也可在节假日、双休日，教师指导．

因材施教，抓好优异生的学科竞赛:作为国家级示范高中，对优异学生提高学习要求，在各级竞赛中获得优异成绩．

 

3． 教学原则．

下述原则用以指导和规范整个教学过程．

(1) “以人为本”原则：师生共同驾驭“以纲为纲、以本为本”原则，这是全新的数学观和教学观的体现．

(2) 数学化与再创造的原则：即不教、不学现成的结论，依托的是弗赖登塔尔的数学教育思想，数学反璞归真教育和建构主义的学习观等．

(3)必要性有效性原则：在教学过程中，各种教学方式、举措，都应是必要的和有效的，不得摆花架子．

(4)“MM方式”的“既教证明，又教猜想”原则；

(5)“MM方式”的“教学、学习、研究（发现）同步协调”原则．

 

4．操作变量(自变量)．操作变量即教学措施，本课题继承“MM教育方式”的八个变量，并且把蕴含其中的三个重要因素加以整合，形成三个变量：

渗透数学思想．MM八变量：返璞归真教育、美育教育、数学发现法教育、数学家人品教育、数学史志教育以及演绎、合情推理及一般解题方法教学，都蕴含数学思想方法；另外，对数学的整体认识，数学的价值和数学精神，也可在渗透数学思想的过程中逐步形成．

进行情感教育．学习数学的过程和不断的小小“成功”、克服艰难险阻的小小“胜利”，都会带来愉悦和兴趣，而对数学的兴趣和情感，更多地是来自数学美和高品位的艺术欣赏价值．另一方面，教师对学生的关爱也会极大促进学生情感的发展．事实上，学生对数学教师的情感和对数学的情感是可以互相转化的．

实施合作教学．按数学共同体学说和社会建构主义，数学知识既是个体的，又是社会的；既有个人独立钻研思考（主要途径），又须与人合作（辅助渠道）；同时，学习数学有利于合作意识培养．

 

5．状态变量(因变量)．本课题教学将“从数学的角度促进学生的全面发展”作为目标，然后分解出三项具体目标，即引导学生自我增进一般科学素养、提高社会文化修养、提升身心健康水平、形成和发展数学品质，对应的状态变量及具体关联如下：

 

6．操作模式

本课题教学有三个基本变量，即渗透数学思想、进行情感教育、实施合作教学，针对不同的内容、课型应当有不同的操作模式．教学有方而无定法，这里的“方”是一定的理论、思想、原则，而“法”则是固定的模式．教师应在实践中不断探索，总结符合本课题教学要求的富有个性化的模式，达到自如运用本课题教学的境界．为了帮助教师逐步理解和掌握本课题教学，我们提出了一种可供参考借鉴的教学模式:

 　　　　

教的流程是：设置情境——引导讨论——变换开放——回顾反思；

学的流程是：情境中质疑——讨论中交流——开放中探究——反思中升华．

这一课堂教学结构不是僵化的，而是富有弹性的．第一，这四个环节没有固定的顺序关系，是可以交换的；第二，这四个环节可以重叠，如设置的“情境”可以是“开放”的，“讨论”可以在“开放”中进行，也可以在“反思”中进行；第三，在一节课中这四个环节可以循环用；第四，实验证明，这一结构适用于多种课型，如新授课、复习课等．

 

7．配套改革

本课题实验伊始，就以数学教学方法改革为中心，对其它环节教学也进行了改革．

(1)在“以学论教”思想指导下，研制了本课题课堂教学评价量表；进行了数学作业处理方式的改革实验；指导学生写数学周记，教师批改，自评和师评相结合，培养学生对数学学习的自我监控能力；规范数学课堂评价用语等．

 (2)改进数学教师的备课方式，提高备课质量，减少烦琐无效的劳动，将更多的时间和精力投入到教学研究中．

(3)研究表明，本课题教学具有高效率特质，但要研究具体的实施策略．

 

8． 评价．这里主要说的是对本课题实验过程与效果的评价，而不是指教学过程中教师对学生的学习评价．

(1)由于教学是个复杂适应系统，因此，应运用定量评估与定性评价相结合的方法．与MM教育方式一样，本课题教学把操作变量与状态变量间的联系定位在因素型与函数型之间的“等级相关”的水平上，因此，对两者都要分别进行评价：

操作变量评价：分为自发地运用、自觉地运用和自如地运用三个等级；

状态变量评价：分为合格、良好和优秀三种水平，同时观察两者间的关联．

(2) 由于本课题教学是在MM教育方式基础上进行的应用推广性实验，所以我们比较关注它在宏观方面的行为，即着重于对教师（应用掌握本课题教学的情况，自身的成长）、学生（学业成绩、综合素质的提高）的评价，在这个基础上对本课题教学本身进行评价．

教师评价：课堂教学，教学设计，论文案例，教学比赛，获得的奖励和荣誉称号；

学生评价：中、高考及期中、期末考试成绩，竞赛成绩，思维、交往状况，身心发展变化．

 

9．典型课例

(1)弱抽象，例略，详见附件.

(2)强抽象，具体有：

一、以函数的运算律为契机进行强抽象．

二、借助直观图进行强抽象．

三、根据同构公式进行强抽象

四、根据周期函数的特性进行强抽象．

例略，详见附件.

(3)广义抽象----联想,具体有:

一、逆向联想：

二、条件的联想：

三、结论的联想：

四、命题拓广的联想：

五、“数”到“形”的联想：

例略，详见附件.

 

四．结果分析

1． 理论价值

在我国数学教育界，将数学哲学与数学方法论创造性地运用于数学教学，产生了发生认识论与数学的抽象度分析法研究课题（本课题）．它吸收了国内外先进的数学教育思想与研究成果，但又不是简单的“移植”，而是立足于独立的分析与必要的批判，汲取其精华，在继承和发扬我国数学教育优良传统的基础上，加以整合与融会贯通，构建了具有中国特色的数学学科教育教学方式．

我国著名学者、天津市特级教师杨世明先生指出：“美籍匈牙利数学教育家波利亚和中国数学教育家傅仲孙是最早尝试将数学方法论运用于数学教学的人，他们在培训教师，编著教材，指导解题，引导数学研究和发现方面做得很成功，但他们未能解决如何将数学方法论系统地应用于数学教学的问题．徐沥泉老师通过长时间的研究和实践，发现了数学方法论基本原理到人的素质的转化机制，从而解决了“MM教育方式”构建的核心问题．”本课题教学是以MM教育方式为基础，并综合吸纳数学教育研究的众多成果而构建的，在以下几个方面有所创新：

（1）表述更加简明、清晰、易解，且更为贴近大家熟悉的语言，从而降低了进入的门槛，减少了应用中的困难，因此更便于传播和推广，这本身就符合MM教育方式中返璞归真的原则．

（2）拓宽了自己的理论基础．本课题教学除了以“MM教育方式”为自己的理论基础外，还广泛吸收弗赖登塔尔的思想，建构主义学习观，数学共同体学说，问题解决，合作教学，情感教育，复杂性研究的成果等．

（3）凸显了数学教育的多元性．如情感教育、合作教学、人文精神（以人为本的精神）、数学对人身心健康的作用等．

（4）粗化了操作变量，这不仅使变量具有一定的综合性，更贴近具体的教学举措，便于应用，而且也使得本课题教学方式的结构更加简明，成为它的特征标志．

在我国教育界，存在着理论研究超前而“实践乏力”的现象．思辩性的研究固然重要，但大多是“书斋式”的，很难见实践的“公婆”．开展本课题实验6年间，先后对它的表述做过3次大的修改，这种修改是在对实践的总结反思和对理论的学习领悟基础上的不断发展完善，体现了“实践—理论—实践”的循环往复的认识规律．

实验期间，课题组教师有数十篇论文先后在《数学通报》、《数学教育学报》、《中学数学教学参考》等国家级核心刊物上发表，并有多篇论文在全国和省论文评比中获一、二等奖，取得丰硕成果．

 

2．实践价值

实验证明，本课题教学具有“育师”与“育生”的“双育”功能，促进教师与学生的共同成长．

(1)学生成长

①学生的学习方式发生明显变化．学生在本课题教学中，主动获取知识，并初步掌握了学习策略，懂得学什么、怎么学，处处体现学习的自主性．学生在主动参与中，渐渐成为学习的主人，为继续求学并成功走向社会奠定良好的基础．

②学生的学习效果以及数学素养得以提高．学生在积极向上的课堂氛围中获取知识、技能、技巧，主动参与，所获取的知识，用得着、记得牢、学得好，学习效率大大提高．不但基础知识扎实，而且能灵活运用．更为可喜的是学生通过深入地学习、研究、思考，对数学的思想、精神、本质和整体价值有所领悟，从而提高了他们对数学知识理解的层次，优化了认知结构．

③学生合作、交往的意识和能力明显增强．能主动关心和帮助他人，师生关系融洽，班级中洋溢着团结向上的气氛．学生敢于质疑，独立思考，善提问题，同时又注重和同伴交流，逐步学会倾听和尊重别人的意见．一批学习带头人和“小先生”涌现出来．在学习中，在交流中，促进了学生身心健康发展．

(2) 教师成长

①教师的教学观念得到转变．通过6年多的实验，一批既能教学、又能科研的、掌握了本课题教学的数学教师在教学中逐步走向成熟．通过实践，教师们知道什么是优质课、双主方针在课堂上如何体现、课堂上师生如何互动、课堂如何实施素质教育等．在实验过程中，课题组成员通过学习，积极探索，总结经验，充分认识到学生是课堂的主人，是学习的主人，教师的“教”要为学生的“学”服务，教师是学生学习过程的指导者、组织者和促进者．

②促进了教师的专业发展．在实施本课题教学的过程中，培养锻炼出一批中青年骨干教师，形成了一支初步掌握先进教学理论，带头推进课堂教学改革的科研型教师队伍．实验期间，有1人被评为江苏省教授级数学教师，3人被评为无锡市名教师，5人被评为无锡市数学学科带头人，3人被评为无锡市教学能手，5人获无锡市青年教师教学比赛一、二等奖，他们在推动我校及无锡市数学教育改革中正发挥着积极作用．

本课题实验之所以能推动教师的专业化发展，主要原因在于：

第一，它要求教师深入了解数学本质（数学是演算的科学），树立正确的数学观，知道数学的文化价值；

第二，为了掌握本课题教学，必须“吃透”教学内容，在深入洞悉数学的基础上才能选择恰当的教学方法，操作本课题的变量，而要做好教学设计，要对课堂教学进行混沌控制，没有数学研究发现的经历，缺乏探索发现的意识，是不行的；

第三，本课题教学要求教师必须读书学习，言行身教，积极进行三项更新，因此，本课题实验促进了教师的专业发展．

 

3．研究结果的意义

6年的教学实验，基本获得成功，对多种实验资料的分析，证实了它的实验假设，即“如果按本课题教学方式进行数学教学，必将有利于学生全面发展和教师的成长提高”．本课题教学的设计和实验，对我们启示很多．

(1)本课题教学有自己多元化的理论基础，但是它也具备中国的数学教育必须具备的中国特色，符合中国语言特征，继承和发场中国、东亚数学教育的优良传统．

①“和”的意识．中华民族始祖黄帝融合万余个小的部落，形成中华民族，就体现一种“和”的精神，在这种意识指导下，进一步发挥融和作用，形成世界上一个最大的民族．和：和谐、和平、合作，求同存异，和衷共济．数学的基本精神也是和谐（如它的公理系统），有同有异（如一个等式两边既有同又有异），异中觅同，同中存异．本课题教学讲求合作教学，追求学生全面和谐的发展，正是贯彻了这种精神；

②朴素的辩证性质．儒家思想具有朴素的辩证性质，东亚数学教育的基本优势也在于此，如双基教学与解题训练并重；既强调快乐学习，又强调刻苦钻研，苦中有乐，先苦后甜；既强调个人独立钻研（学习主渠道），又提倡合作学习；既运用班级教学制，充分发挥其优势，又加强个别辅导、个性培养；既精心组织各种教学活动，又要求对“活动”数学化；既重视过程，又重视结论；既强调学生是学习的主体，又强调发挥教师的主导作用（反对“儿童中心”论！）；既教猜想（合情推理），又教证明；既强调兴趣（最佳学习动机），又强调为国家人民而学习（为升学、就业而学习）的职责；既强调发现学习，也不排斥接受学习；既强调创新意识、创造性思维，又强调常规思维的培养等等，突出哪一方面，要因情况而异，找到一个平衡点，反对从一个极端走到另一个极端，这正是儒家思想影响下形成的中国式的数学教育的成功之本，是它的优势，本课题教学正是继承了这一优良传统，具有我国自己的数学教育教学特色．

③符合科学发展观的要求．我国要构建社会主义的和谐社会就要贯彻科学发展观，提高上上下下的效率意识，本课题教学的目标正是使学生全面和谐发展，它还是一种高效率、低消耗的数学教学方式，以人（的发展）为本的教学方式．

(2) 实验过程的启示．同MM教育方式一样，自2002年我们开始设计课题方案并组织实施以来，我们实验教师都发自内心地感受到“教师自身的提高更大于学生的提高。这是因为本方案较之其他一些教学方式更能紧密地结合和充分运用数学本身的特点，它更能唤起教师自身的教学经验，从而提高我们的教学积极性和数学素养。这使我们体会到，只有当教育科研的选题方向预示着教师本身的专业方向时，才能使一种先进的教育理论转变为老师们的自觉行动，才能使师资队伍的培训和建设更具有现实意义。无疑地，“发生认识论和数学的抽象度分析法”这一研究项目促使数学教师站到学科教育的最前沿，通过“教学•研究•发现”这样一种途径，等于为他们的继续教育和在职提高创建了一所自组织自开放的自我培训学校。

运用发生认识论和数学的抽象度分析法的观点指导数学教学，就是要以数学的发展规律、数学的思想方法，以及数学中的发现、发明和创新等法则为指标，设计数学教学。其灵魂就是启发师生的创造性，促进数学教学中的发现和发明。“设置情境——引导讨论——变换开放——回顾反思”和“情境中质疑——讨论中交流——开放中探究——反思中升华”这样一种教学流程，一方面彻底改变了教学的被动局面，为老师和学生提供了正确的教学方法和学习方法；另一方面，在方法论的意义上，中学数学不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片。这就为学生吸取数学领域中的现代思想，自我增进数学科学的现代营养开辟了一块良好的运动场；同时我们这些有着丰富教学经验的一线教师们得到了好的理论，在一起精诚合作，琢石觅玉，集腋成裘，形成了自己的站得住、用得上的数学教育方式和理论．应该说，我们走的是数学教育科研的金光大道和必由之路．

 

五．展望

本课题实验获得的丰硕成果，意味着MM实验又迈出了重大的一步．对此，我们有如下的展望：

    1．尽管实验在我校已经告一段落，但是，为了巩固和发展我们已经获得的实验成果，还有很多工作要做，比如按照发生认识论与数学的抽象度分析法的基本原理和原则，编著出版一套数学实验教材，这样可以在更大范围内进行推广应用研究。

    2．巩固现有实验点，提升实验水平，关键在于提高实验教师的水平．我们准备加强对实验教师的培训，使他们在学习和掌握《教学•研究•发现—MM方式演绎》、《MM教育方式：理论和实践》的基础上，进一步学习数学哲学、数学方法论的相关内容，适当参与初等数学研究．

    3．依托无锡市教研中心，以及南京师范大学、苏州大学、江南大学等高等学校的科研力量，实现强强联合，尽快建立一支既能胜任新课程教学又能从事于教育科研究的波利亚型的骨干教师队伍．

    总之，我们的目标是在大幅度提升学生的学习成绩和数学素养的同时，努力打造一支高水平的现代数学师资队伍．

主要参考文献

[1] 《数学抽象方法与抽象度分析法》  徐利治，郑毓信著  江苏教育出版社 2000年

[2] [瑞士]皮亚杰《发生认识论原理》王宪钿等译． 商务印书馆．1995．

[3]《教学•研究•发现—MM方式演绎》[M]． 徐沥泉著． 北京:科学出版社，2003年．

[4]《MM教育方式:理论与实践》．杨世明等著．香港新闻出版社，2002年4月出版．

[5] 徐沥泉．《贯彻数学方法论的教育方式全面提高学生素质》实验报告，无锡教科所，1994．

[6] 林夏水．数学哲学[M]．北京:商务印书馆，2003年．

[7] 徐利治，张鸿庆：数学抽象度概念与抽象度分析法，[数学研究与评论]，1985，5(4)

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