从一堂评优课教学片段谈概念教学设计
从一堂评优课教学片段谈概念教学设计
陶 睿（江苏省无锡市第一中学 214031）
2011年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动于9月22日在淮安市清江中学举行．笔者有幸观摩了一等奖获得者张冬香老师执教的“几何概型”课．张老师在教学过程中，通过几何概型的概念的发生、发展、确立、应用、拓广的历程，充分地引导学生从不同的角度感受几何概型，思考几何概型，促进了学生对几何概型概念由表及里，去伪存真，从感性上升到理性的认识．
这节课呈现在我们面前的是科学而又艺术的概念设计精品，引发了笔者进一步思考概念教学设计一些问题．本文首先呈现张老师有关几何概型概念形成的教学片段，然后对这些教学片段做些分析，最后给出笔者对概念教学的一些思考．
1 教学片段
问题1：一根长度为3米的绳子上，有五个点将绳子均分为6段，拉直绳子后从中任选一点将绳子剪断，那么剪得的两段均不小于1米的概率为多少？
师：请大家先思考上面的问题，并求出答案．
生A：可在处剪断，概率为．
师：很好，请你进一步说说这个概率问题中基本事件的个数共几个？它们是否是等可能的？
生A：基本事件共5个，它们是等可能的．
师：非常好．请问这属于什么概型？
生A：这是古典概型．
师：那么，请大家回顾一下古典概型的特征是什么？
生B：一是基本事件的个数为有限个；二是每个基本事件的发生是等可能的．
师：很好，大家对上一节课的内容掌握得非常好．那么，如果绳上有10个点将绳子均分，剪得的两段均不小于1米的概率又是多少呢？
（学生受到鼓励，而题目要求略有上升，都很带劲，马上拿出笔进行计算，有学生计算较快，已经在下面报出答案．）
师：很好，答案正确．那请你猜想如果绳上有十万个点时概率的近似值又是什么．
（这个问题对学生来说显然有挑战，学生安静了下来．）
有一个学生勇敢的举手，老师让他回答．
生C：是不是0.3．
老师微笑地说：你是怎么想的呢？
生C：我想虽然绳上有十万个点，但使得“剪得的两段均不小于1米”的断点应该集中在绳子当中的段上，所以我想概率是．
师：大家说，他讲得有没有道理．
学生们都赞同的点头．
师：我觉得他的想法非常好，虽然没有具体去计算，但这应该是合情合理的．看来我们同学对古典概型的理解很深刻．好，我们再来看一个问题．
问题2：一根长度为3米的绳子上，拉直绳子后在绳上任意位置将绳子剪断，那么剪得的两段均不小于1米的概率为多少？
师：试验中基本事件是什么？共多少个？每个基本事件的发生是否等可能？
生D：试验中基本事件是“在绳上任意位置将绳子剪成两段”，共有无限个基本事件．它们是等可能的．
师：它符合古典概型的特点吗？
生D：不符合．
师：像这种基本事件有无限个，且每个基本事件的发生是等可能的概率问题我们称之为几何概型．
师：那么如何求该题的概率呢？
（学生进行充分讨论）生E：我猜想可以类比古典概型的解法．
师：请你详细谈谈你的看法．
生E：虽然基本事件有无限个，将所有的断点看成一个集合，这个集合就是整个绳长；同理，将有利于“剪得的两段均不小于1米”的基本事件看成一个集合，这个集合就是绳子当中的段的绳长，它们又是等可能的，所以概率为．
师：你的猜想非常有道理，我们不妨再通过计算机模拟试验．
师：的确，各次试验的频率非常接近，看来这样的猜想是正确的．好，那么这个问题呢？
问题3：射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．奥运会射箭比赛箭靶的靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面上任一点都是等可能的，那么射中靶心的概率为多少？
师：试验中基本事件是什么？共多少个？
生E：基本事件是“射中靶面上任一点”，共有无限个基本事件．
师：问题2和问题3有什么共同特点．
生E：这两个试验的基本事件虽都是无限个，但都可以度量，问题2是线段的长度，问题3是圆的面积；这两个试验的基本事件的发生都是等可能的．
师：你回答得很好．的确是这样．像这种对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
师：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率D的测度．
2 教学片段分析
“几何概型”是苏教版高中教材必修三第3章第3节的内容，本小节内容安排在“随机事件及其概率”和“古典概型”两节之后，是等可能事件的概率从有限向无限的延伸．对学生全面系统地掌握概率知识及辩证思想的进一步形成具有重要作用．
张老师以问题链为线索，激发参与教学活动热情，引导学生探索、发现、抽象、概括：
（1）问题1通过复习古典概型的特征，使学生处在“最近发展区”，为建构新知找到认知的基础和新旧知识认知冲突的要点，体现教师的主导地位和学生的主体地位．
（2）问题1通过在绳上多加点让学生体会到使得“剪得的两段均不小于1米”的共性是所取的点应该在当中的段上，从而为推广到“在绳上任意位置将绳子剪断”做好铺垫，符合学生的认知发展规律，也为实现了数学上的从“有限”到“无限”的飞跃做好了准备．
（3）问题2通过与古典概型比较，揭示几何概型区别于古典概型的本质特征，使得学生在新旧知识之间产生冲突，从而引起学生的认知需要，促进学生展开积极主动的学习活动．
（4）在问题2的解决方法上，抓住基本事件的等可能性，引导学生采用类比的方法思考处理的方法，又用数学实验的方法消除学生对猜想的顾虑，让学生亲历解决问题的探索过程，学会数学的思维方法，又良好的吻合了高中教材教学的要求．
（5）通过问题2和问题3两个变式，让学生观察两个问题的共性的特征，学会归纳、抽象、概括等重要思维方式，这也是一节概念引入课真正的教学目标．
（6）对于这样一节概念课，正是由于张老师谆谆善诱、循序渐进的展开知识发生发展的过程，学生才能深刻领会了几何概型这样一种数学模型的特征．在后续的解题教学中，学生不仅轻松解决了“撒豆试验”中“豆子落入圆内的概率”，而对于“列车停站问题”中“乘客到达站台立即能乘上车的概率”，学生也能转化为“在线段上取点”的几何概型来处理．笔者认为，这样才是在教学过程中真正实现了“知识与技能、过程与方法、情感态度价值观”的三维的教学目标．
3 对概念教学设计的思考
新课标倡导的还原数学知识发生发展过程的理念已经被广大教师普遍接受，但是在实际教学中轻视数学概念教学，迷恋大运动量的解题训练的现象还普遍存在．究其原因，一是可能现在学生家长、教师都普遍感受到前所未有的升学压力，教师也不得不只顾眼前的成绩分数，以学生学会解题为首要目标与任务，而轻视数学能力、思维品质这些长久培养才能达成的教育目标；二是可能在真正的教学过程中要落实先进的教学理念的确比“输入式”教学、“题海战”要难得多，需要教师更多的教学智慧，付出更艰辛的劳动．
在笔者看来，“十年树木，百年树人”，我们真得不应急功近利，以浮躁的心态面对课堂教学，而应立足于学生的长远发展，真正促进学生数学素质的提高．一堂好的概念教学课，关键是要将好的理念付诸于实际的教育教学实践之中，教师作为课堂的主导者，一定要明白两个最重要的问题——“教什么”和“怎么教”，一定要精心进行课堂教学设计，将数学素质的培养落实到课堂教学的整个过程．
3.1概念教学设计要注意知识性与过程性的统一
数学教育的目标不仅仅是传授给学生数学知识和方法，更是要促使学生思维品质的提升、促使每一个学生个体的发展．所以，教师一定要转变观念，改变概念教学条文式的解读，告知式的灌输，几点注意的直白要求，注重知识发生发展过程的设计，注重学生的活动体验过程的设计，以问题链作为探究的驱动力，让学生经历激疑——探究——释疑的过程，创造出学生充分认识概念的时空和进行交流的机会，通过教学中知识性与过程性的统一来促使学生的能力发展．
3.2 概念教学设计要符合学生的认知规律
发展心理学的研究表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性．皮亚杰认为，人的认知发展是一个认知图式不断重建的过程．教师要认识到学生思维发展的相应阶段性及相应水平，有意识地通过设置“最近发展区”， 让学生经历观察、试误、归纳、类比、辨析等过程，以激发学生认知上的不平衡，促进新旧知识的相互作用，通过同化或顺应，使学生达到新的认知平衡，从而不仅获得新知，更能养成以数学的方式思考问题的习惯．为此，我们在进行概念教学设计时就要考虑学生的认知水平，即要考虑学生的观察、记忆、推理、抽象、概括、形式化水平．
3.3 概念教学设计要符合知识的逻辑顺序
数学概念的起源与发展本应是自然的合情合理的，如果在概念教学中能够做到概念的生成基本符合数学的知识逻辑结构，那么这样的概念教学就容易为学生所感觉、理解、记忆．为此，教师在设计概念的教学时，就要考虑学生已经学习了哪些概念，有了哪些数学活动经验，对生产、生活哪些问题较为熟悉，这些便是概念的生成点、固着点．在概念设计时应该致力于创设生成概念的情境，让学生积极地参与到提炼概念活动中来，使概念的教学过程成为学生自己主动建构的过程．这样的概念教学不仅有助于学生形成、理解、应用、迁移概念，更重要的是让学生通过亲身参与、成功体验，培养出他们的思维的全面性、深刻性、批判性和创造性．
3.4概念教学设计要发挥评价促进发展的功能
课堂教学中对学生及时的、恰当的评价，可以激发学生的好奇心和自信心，保护学生的求知欲和创造欲；也可以实现“不同的学生在学习上得到不同的发展”这一新课程标准的理念．我们在进行概念教学设计时，评价的主旨要从“水平层次评价”转变为“育人为本”，要关怀学生的成长，唤起学生的主体意识；在评价策略上，必须把教师评价和学生评价结合起来，培养学生学会倾听、学会思考、懂得辩析的良好习惯；必须把智力因素评价和非智力因素评价结合起来．我们要应该充分认识非智力因素在认知活动中所起到的作用．事实上，非智力因素对认识过程起着始动、定向、引导、维持、强化等作用，对智力活动的结果产生着重要的影响，甚至是决定性的影响，教师如果在概念教学设计时仅考虑预设学生的智力性评价，而忽视其取得成果背后的非智力因素，便是不全面的评价，会对学生今后做人做事产生不当影响．
发表于《中学数学月刊》2012年第3期
